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[图文]2014年湖北高考数学理科试题及参考答案           ★★★★
2014年湖北高考数学理科试题及参考答案
作者:佚名 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2014-6-27 13:51:15

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学(理科)
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.  为虚数单位,则 (   )

a.          b.          c.          d. 
2. 若二项式 的展开式中 的系数是84,则实数 (   )
a.2        b.       c. 1       d. 
3. 设 为全集, 是集合,则“存在集合 使得 是“ ”的(   )
a. 充分而不必要条件        b. 必要而不充分条件     
c. 充要条件            d. 既不充分也不必要条件

4.根据如下样本数据
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 
0.5 
 

得到的回归方程为 ,则(    )
a.     b.     c.      d.
5.在如图所示的空间直角坐标系 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),
(1,2,1),(2,2,2),给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(    )
 
a. ①和②     b.③和①    c. ④和③    d.④和②
6.若函数 上的一组正交函数,给出三组函数:
① ;② ;③
其中为区间 的正交函数的组数是(    )
a.0     b.1     c.2    d.3
7.由不等式 确定的平面区域记为 ,不等式 ,确定的平面区域记为 ,在 中随机取一点,则该点恰好在 内的概率为(    )
a.      b.      c.       d.

 

8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“盖”的术:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一.
该术相当于给出了有圆锥的底面周长 与高 ,计算其体积 的近似公式 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为3.那么近似公式 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为(     )
a.    b.     c.     d.

9.已知 是椭圆和双曲线的公共焦点, 是他们的一个公共点,且 ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(    )
a.    b.     c.3     d.2
10.已知函数f(x)是定义在r上的奇函数,当 时, 若 则实数a的取值范围为(    )
a.     b.    c.     d. 
二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
(一)必考题(11—14题)
11.设向量 , ,若 ,则实数 ________.
12.直线 和 将单位圆 分成长度相等的四段弧,则 ________.
13.设 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成 的3个数字按从小到大排成的三位数记为 ,按从大到小排成的三位数记为 (例如 ,则 , ).阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个 ,输出的结果 ________.


14.设 是定义在 上的函数,且 ,对任意 ,若经过点 的直线与 轴的交点为 ,则称 为 关于函数 的平均数,记为 ,例如,当 时,可得 ,即 为 的算术平均数.
(1)当 时, 为 的几何平均数;
(2)当当 时, 为 的调和平均数 ;
(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)

 

(二)选考题
15.(选修4-1:几何证明选讲)
如图, 为⊙ 的两条切线,切点分别为 ,过 的中点 作割线交⊙ 于 两点,若 则

 

 

16.(选修4-4:坐标系与参数方程)
已知曲线 的参数方程是  ,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程是 ,则 与 交点的直角坐标为________

 


17、(本小题满分11分)
某实验室一天的温度(单位: )随时间 (单位;h)的变化近似满足函数关系;
(1) 求实验室这一天的最大温差;
(2) 若要求实验室温度不高于 ,则在哪段时间实验室需要降温?


18(本小题满分12分)
已知等差数列 满足: =2,且 , 成等比数列.
(1) 求数列 的通项公式.
(2) 记 为数列 的前n项和,是否存在正整数n,使得 若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.

19(本小题满分12分)
如图,在棱长为2的正方体 中, 分别是棱 的中点,点 分别在棱 , 上移动,且 .
(1)当 时,证明:直线 平面 ;
(2)是否存在 ,使平面 与面 所成的二面角?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
 

 


20.(本小题满分12分)
计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量 (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和.单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来4年中,至多1年的年入流量超过120的概率;
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 限制,并有如下关系;
 
若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?

21.(满分14分)在平面直角坐标系 中,点m到点 的距离比它到 轴的距离多1,记点m的轨迹为c.
(1)求轨迹为c的方程
(2)设斜率为k的直线 过定点 ,求直线 与轨迹c恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时k的相应取值范围。

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