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高三数学考点综述复习课件1           ★★★★★
高三数学考点综述复习课件1
作者:未知 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2013-10-27 22:37:18

基于本质的不等式“减负增效”的教学思考
德化一中 徐建新
?
一.内容综述
二.教材分析
1.课程功能
2.《课标》与《考纲》要求
3.考题典例
4.教学定位
三.教学启示
一.内容综述
   基本内容:根据《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准) 编写的人教A版普通高中数学课程标准实验教科书中,不等式内容主要分布在必修5第3章《不等式》、选修4-5《不等式选讲》,主要内容有:不等关系与不等式、一元二次不等式、简单不等式的解法、二元一次不等式组与平面区域、基本不等式及其简单应用、绝对值不等式、柯西不等式、用向量递归方法讨论排序不等式、贝努利不等式、证明不等式的基本方法.
   不等式知识与思想方法参透到高中数学的各个章节中,如函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、极值,解析几何有关位置关系问题、取值范围问题,平面向量有关取值范围问题,数列有关最值问题,立体几何有关存在性问题,等等.
基本思想方法:分类与整合,数形结合,特殊与一般,转化与化归,必然与或然,等等.
二.教材分析
1.课程功能
  不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系,是数学研究的重要内容,在数学应用中起着重要作用.建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值.
2.《课程标准》与《考试说明》要求 (行为动词为红色,差异用蓝色)
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2009年福建高考理科卷,涉及不等式知识、方法的有题2、5、6、14、20、21;
2010年福建高考理科卷,涉及不等式知识、方法的有题3、7、8、10、16、18、19;
2011年福建高考理科卷,涉及不等式知识、方法的有题8、10、16、18、20、21.
近三年福建省理科数学卷考查情况
单独成题的基本上选择或填空,考查不等式的性质及应用、比较大小、解简单不等式、利用线性规则求最值等问题;
解答题主要在选修系列4:不等式选讲,其中含绝对值不等式的解法最常见.
复杂的不等式证明及解法已退出舞台,但在解答题的解答过程中到处渗透着对基本的不等式知识、思想、方法的考查,不等式与其他知识的交汇交融,体现了不等式的工具性.
3.考题典例
2011福建理8 已知是O坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域

上的一个动点,则 的取值范围是( C )

A.[-1,0] B.[0,1] C.[0,2] D.[-1,2]
本题是不等式、线性规划与平面向量的交汇,二元一次不等式组的几何意义,平面向量数量积的几何意义,涉及较多基本知识和基本方法,但难度不大.
2011的高考卷中,福建理8、广东理5、湖北理8、浙江理15,四题高度相似 .
(1)二元一次不等式组与线性规划问题
2009福建文11 在平面直角坐标系中,若不等式组

(a为常数)所表示的平面区域内的面积等于2,则a的值为( )

A. -5 B. 1 C. 2 D. 3

本题以二元一次不等式组表示平面区域为背景考查不等式与函数的关系,考查数形结合思想、运动变化思想.
2011江苏附加D 解不等式:



(2)含绝对值不等式的解法:不等式选讲》部分
本题是基本的绝对值不等式求解问题,符合课标、考纲的要求,学生要掌握去绝对值的方法,会分类讨论,考查分类整合的思想.
2011广东文5 不等式 的解集是( D )




(3)一元二次不等式的解法
本题是简单一元二次不等式的求解问题,符合课标和考纲的“会解”要求,会解“一元二次不等式”是高中数学的一项基本而重要的要求,由于太重要太经常用到,以至于更多的高考题并没直接考查,而是渗透在整份试卷中.
(4)简单的分式不等式、指对数不等式
简单的分式不等式、指对数不等式的解法,在课标、考纲中并没有单独提出,但是教材中有要求,如求函数
的定义域..
2011上海理4. 不等式 的解为 .
(5)基本不等式
这两道试题都是考查基本不等式和不等式的基本性质,作为选择题学生可以用特殊值检验法得到正确答案,只是2011上海理15题要注意到条件的差异,正是这个差异,考查学生对基本不等式条件的准确把握.
2011湖南理10 设 则 的最小值为 9 .
课标、考纲对“柯西不等式”的要求:理解其几何意义、会证明、会用其求一些特定函数的极值.由于问题的特殊性,能用柯西不等式解的,往往也能用均值不等式解.福建省近三年的高考卷都没考到,虽然其要求是比较高“理解”“会证”“会求”,学生容易出现要么得满分要么得零分.
(6)柯西不等式
4.教学定位
对于“不等式”,课标与考纲的主要考查内容是:不等式的基本性质、简单不等式的解法、二元一次不等式组与线性规划、基本不等式的应用、绝对值不等式、柯西不等式,单独考查不等式的证明已经淡化,对不等式的变形技巧要求降低,但对不等式基本思想方法的考查并没降低.重视"不等"与"等"的转化,重视"数"与"形"的转化, 强调不等式的实际应用.
(1) 二元一次不等式组与简单线性规划问题
“二元一次不等式组与简单线性规划”的内容特点、难度情况、教学价值以及构造试题的难易度,使得其深受到命题者的青睐.试题其难度不太大,变形比较多,和其他知识的结合,在高考中出现最多.在教学中应该给予充分重视.
①二元一次不等式组表示的可行域是确定的,线性目标函数也是确定的,求最值问题;

  
 2010福建文5 设          则     的最小值为( )
  
  A.2   B.3   C.5   D.9

这类问题教学时要注意对线性目标函数进行变式,不要靠记忆“上移取最大,下移取最小”.
已知实数x,y满足不等式组 目标

函数z=y-ax (a∈R).若取最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数a的取值范围是________.
②二元一次不等式组表示的可行域是确定的,线性目标函数带参数,知道最值(或最优解)求参数的值或范围;
③二元一次不等式组带参数表示的可行域不确定,线性目标函数最值已知,求参数的值或范围;
2011湖南文14 设 m>1,在约束条件 下,目


标函数z=x 5y的最大值为4, 则m的值为______.
答案:3


(2)均值不等式的应用
不等式链
(3)不等式的解法
解一元二次方程,再利用二次函数的图象得到一元二次不等式的解集,充分体现“三个二次”的紧密联系,在一元二次不等式的解法教学过程中要让学生深刻领会,它们的关系在图象直观体现,学生要学会看图,是数与形的完美结合,这一思想对于学生掌握一般的函数、方程、不等式的联系具有重要意义,是从特殊到一般的认知规律,有利于学生思维能力的发展.
在教学过程中,对于“含参数的一元二次不等式”,要针对不同的教学对象提出不同层次的要求,设计不同习题,如:




    这几个变式的难度是有差异的.重要的是通过变式,让学生不断领会、掌握解法的要领,这是培养学生数形结合思想、分类讨论思想的重要载体.
①一次二次不等式
②绝对值不等式
课标与考纲对绝对值不等式的要求是:会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
∣ax+b∣≤c;∣ax+b∣≥c;∣x-c∣+∣x-b∣≥a.

如画函数 的图象,表面上它不是绝对值不等式的问题,但要利用去绝对值符号的方法把函数转化为分段函数.
?简单指、对数不等式
根据实际要求,只需要掌握可化同底的指数不等式、对数不等式.
(4)不等式证明
证明不等式经常与一次函数、二次函数、对数函数、导数等知识相结合.近几年在函数、向量、数列、解析几何各种知识网络的交汇处命题,重点考查不等式知识,试题的立意高、难度大、综合性强,近三年高考命题难度下降较大,我省已经淡化.

三.不等式教学“减负增效”的几点思考
1.对不等式的课程价值、教学内容、教学目标、考纲要求、考试方
向 ,做到“心中有底 ”,这是"减负增效" 的前提。
4.减负是减去“繁、难、杂”,对后继学习影响小,对培养数学能力
意义不大或者可以由其他内容替代的内容。对具有重要学科价值
的数学内容要给予重视,数学能力与思想方法的训练培养是需要
载体的、是需要一个循序渐进的过程的。做到“心中有度”,这是
“减负增效”的着力点。
3.以形助数,以数释形.做到“心中有形”,这是"减负增效" 的途径。
2.对不等式“三基”的教学,理解要深刻、操作要规范,做到“心中
有数”,这是"减负增效" 的基础。
?中学数学的研究对象:数与形;
?基本数量关系:等与不等;等式与不等式;函数与方程;
?要深刻理解平面直角坐标系及其点的坐标的意义,这是
数形结合的基石;
?初中学了三个“一次“,类比学习三个“二次”,再到一
般情况。这个过程对于很多学生来说是有难度的;
分式不等式,指数不等式,对数不等式,甚至无理不等式,这些不等式表面上看是超出课标与考纲的要求,事实上可通过转化变形利用函数的单调性化归为一次、二次不等式问题,学生不难理解掌握,书本也有习题,如:
必修一P74,求函数的 定义域;
必修一P82,求函数 的定义域;

(1)不等式的基本性质和简单不等式的解法与函数的图象(特别是单调性)密切联系。
(2)比较大小与函数的单调性
必修一P45
若  ,则 ;
 若 ,则         ;
*若 常数 ,则 .
(3)要充分发挥书本素材的教学价值;通过图形的直观感知, 降低学习难度,提高教学实效.
这是琴生不等式,其图形背景是凹凸函数的图象。可以指导
学有余力的同学课外查阅数学家琴生和一般形式的琴生不等式,
培养兴趣,拓展数学视野。这不是增负,而是新课程理念。
(4)重视不等式与函数、方程的联系与转化,学生的应用能力都需要一个不断提高的过程.
2010江苏 已知函数  则满足不等式  的  的取值范围是_________.
(5)掌握常见的不等式恒成立问题的基本解法(含参数与不含参数).教材对不等式中参数范围的确定并没有作专门介绍,而是分散在各个章节中.
2010湖北理15 设a>0,b>0,称 为a,b的调和平均数.如图,C为线段AB上的点,且AC=a,CB=b,O为AB中点,以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线,交半圆于D,垂足为C.连结OD,AD,BD.过点C作OD的垂线,垂足为E.则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,线段_____的长度是a,b的几何平均数,线段______的长度是a,b的调和平均数.
(6)重视不等式链的教学:课堂教学要控制难度,课外鼓励优秀学生多探究;各类不等式的证明是培养学生数学思维能力的好途径、好素材.
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应用时,要认真研究等号成立条件!
课本如何证明 和 的呢?
目的在于说明不等式的几何意义,代数与几何密切联系.
二元一次不等式组与简单线性规划问题涉及量多,关系多。在教学时,要重视实际情境抽象出简单线性规划问题的过程的教学,“抽象过程”就是转化过程、建模过程,是难点。有些学生缺乏生活常识,教学要暴露思维过.先审题,再列表,使条理清晰,老师要引导示范,再让学生实践。教材安排了大量例题和习题,就是要让学生多练,不断提高实际应用能力.
(7)应用问题多数与不等式相关,需要根据题意,建立不等关系,设法求解;或者用均值不等式、函数单调性求出最值等.
(8)交汇走向交融是不等式考查发展的趋向
   试题表面上与不等式无关,但在解题过程中必须运用不等式知识,即用不等式的知识解题.在教学中,要不断培养学生运用不等式知识解题的意识和能力.
这只是个人的一点粗浅看法,不足之处,敬请各位专家、老师批评指正!
谢 谢!
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