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2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高二) Word版含答案           ★★★★★
2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题(高二) Word版含答案
作者:未知 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2013-6-3 16:07:44

2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题
(高二年级)
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;解答题的评阅,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。)
1.函数的值域为________________.
2.已知,,则_______________.
3.已知数列满足:为正整数,如果,则 .
4.设集合,是的子集,且满足,,那么满足条件的子集的个数为 .
5.过原点的直线与椭圆:交于两点,是椭圆上异于的任一点.若直线的斜率之积为,则椭圆的离心率为_______________.
6.在△中,,.设是△的内心,若,则的值为_______________.
7.在长方体中,已知,则长方体的体积最大时,为_______________.
8.设表示不超过的最大整数,则 .
二、解答题(本大题满分56分,第9题16分,第10题20分,第11题20分)
9.已知正项数列满足且,,求的通项公式.


10.已知正实数满足,且,求的取值范围.




11.已知点为抛物线内一定点,过作斜率分别为的两条直线交抛物线于,且分别是线段的中点.
(1)当且时,求△的面积的最小值;
(2)若(为常数),证明:直线过定点.


2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
(高二年级)
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;解答题的评阅,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。)
1.函数的值域为.
2.已知,,则.
3.已知数列满足:为正整数,

如果,则 5 .
4.设集合,是的子集,且满足,,那么满足条件的子集的个数为 185 .
5.过原点的直线与椭圆:交于两点,是椭圆上异于的任一点.若直线的斜率之积为,则椭圆的离心率为.
6.在△中,,.设是△的内心,若,则的值为.
7.在长方体中,已知,则长方体的体积最大时,为.
8.设表示不超过的最大整数,则 2012 .
二、解答题(本大题满分56分,第9题16分,第10题20分,第11题20分)
9.已知正项数列满足且,,求的通项公式.
解 在已知等式两边同时除以,得,
所以 . ------------------------------------------4分
令,则,即数列是以=4为首项,4为公比的等比数列,所以. ------------------------------------------8分
所以,即 . ------------------------------------------12分
于是,当时,

 ,
因此, ------------------------------------------16分
10.已知正实数满足,且,求的取值范围.
解 令,,则
.----------------------------------------5分
令 ,则 ,且.------------------------------10分
于是
. ------------------------------15分
因为函数在上单调递减,所以.
又,所以. --------------------------------------20分
11.已知点为抛物线内一定点,过作斜率分别为的两条直线交抛物线于,且分别是线段的中点.
(1)当且时,求△的面积的最小值;
(2)若(为常数),证明:直线过定点.
解 所在直线的方程为,其中,代入中,得
,
设,则有,从而
.
则.
所在直线的方程为,其中,同理可得.
------------------------------------------5分
(1)当时,,,,,.
又,故,于是△的面积

,
当且仅当时等号成立.
所以,△的面积的最小值为. ------------------------------------------10分
(2),
所在直线的方程为,
即. ------------------------------------------15分
又,即,代入上式,得,
即 .
当时,有,即为方程的一组解,
所以直线恒过定点. ------------------------------------------20分



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