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2012年全国高中数学联合竞赛辽宁省预赛试题 Word版含答案         ★★★★★
2012年全国高中数学联合竞赛辽宁省预赛试题 Word版含答案
作者:未知 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2013-5-29 16:33:36

2012年全国高中数学联赛辽宁省初赛参考答案
一.选择题(本题满分30分,每小题5分)
1. (B). 2. (C). 3. (C) . 4. (A). 5. (D). 6. (A) .
二.填空题(本题满分30分,每小题5分)
7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. .
三.解答题
13.(本小题满分20分)
证明:假设,则.
由得即,…………… ………(5分)
由于单调递减,,且,
故. …………………………(10分)
由得,即.…………………………(15分)
由于单调递减,,
故.
因此,,与矛盾,所以,. ……………………(20分)
14.(本小题满分20分)
解:由题意可设椭圆方程为  ,
由  得 ,
所以,椭圆方程为. ……………………(5分)
由题意可知,直线的斜率存在且不为,故可设直线的方程为,满足 ,
消去得.
,
且,.
. ……………(10分)
因为直线,,的斜率依次成等比数列,
所以,,即,
又,所以,即. ……………………(15分)
由于直线的斜率存在,且,得且.
设为点到直线的距离,则
,
所以的取值范围为. ……………………(20分)
15.(本小题满分25分)
证明:连结,显然三点共线,且,
所以是中点,由是的中点,故,.       ……………………(5分)
,
所以 ∽,.
……………………(10分)
又四点共圆,
,
故四点共圆,. ……………………(15分)
是直角三角形,
有,
于是四点共圆. ……………………(20分)
,
所以,四边形是菱形.         ……………………(25分)
16.(本小题满分25分)
(1)解法一:由得
,
由,猜想
. ……………………(5分)
证明:当时,显然成立;
设当时,成立,当时,

=成立,
所以,通项公式为. ……………………(10分)
解法二:由得
,故(),两式相减得
,又为递增数列,
故 . ……………………(5分)
特征方程为,特征根为,
所以,将代入,得
 ,解之得 ,
通项公式为. ……………………(10分)
(2)设,
由 得
,, ……………………(15分)

.
所以 . ……………………(25分)


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