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八年级数学竞赛复习讲座:第十八讲 由中点想到什么(word版)         ★★★★★
八年级数学竞赛复习讲座:第十八讲 由中点想到什么(word版)
作者:未知 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2013-6-2 16:21:26

第十八讲 由中点想到什么
线段的中点是几何图形中一个特殊的点,它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线、梯形中位线等丰富的知识,恰当地利用中点,处理中点是解与中点有关问题的关键,由中点想到什么?常见的联想路径是:
1.中线倍长;
2.作直角三角形斜边中线;
3.构造中位线;
4.构造中心对称全等三角形等.
熟悉以下基本图形,基本结论:

例题求解
【例1】 如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M为BC的中点, AB=10cm,则MD的长为 .
(“希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 取AB中点N,为直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理的运用创造条件.
注  证明线段倍分关系是几何问题中一种常见题型,利用中点是一个有效途径,基本方法有:
(1)利用直角三角斜边中线定理;
(2)运用中位线定理;
(3)倍长(或折半)法.
【例2】 如图,在四边形ABCD中,一组对边AB=CD,另一组对边AD≠BC,分别取AD、BC的中点M、N,连结MN.则AB与MN的关系是( )
A.AB=MN B.AB>MN C.AB(2001年河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)

思路点拨 中点M、N不能直接运用,需增设中点,常见的方法是作对角线的中点.
【例3】如图,在△ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,E为AB中点,连结CE、CD,求证:CD=2EC.
(浙江省宁波市中考题)

思路点拨 联想到与中位线相关的丰富知识,将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明,解题的关键是恰当添辅助线.
【例4】 已知:如图l,BD、CE分别是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG ⊥ CE,垂足分别为F、G,连结FG,延长AF、AG,与直线BC相交,易证FG=(AB BC AC).
若(1)BD、CF分别是△ABC的内角平分线(如图2);
(2)BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线(如图3),则在图2、图3两种情况下,线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对其中的一种情况给予证明.
(2003年黑龙江省中考题)


思路点拨 图1中FG与△ABC三边的数量关系的求法(关键是作辅助线),对寻求后两个图形中线段FG与△ABC三边的数量关系起着重要作用,而由平分线、垂线发现中点,这是解题的基础.
注 三角形与梯形的中位线.在位置上涉及到平行,在数量上是上下底和的一半,它起着传递角的位置关系和线段长度的功能,在证明线段倍分关系、两直线位置关系、线段长度的计算等方面有着广泛的应用.
【例5】 如图,任意五边形ABCDE,M、N、P、Q分别为AB、CD、BC、DE的中点,K、L分别为MN、PQ的中点,求证:KL∥AE且KL=AE.
(2001年天津赛区试题)

思路点拨 通过连线,将多边形分割成三角形、四边形,为多个中点的利用创造条件,这是解本例的突破口.
注 需要什么,构造什么,构造基本图形、构造线段的和差(倍分)关系、构造角的关系等,这是作辅助线的有效思考方法之一.
学历训练
1.BD、CE是△ABC的中线,G、H分别是BE、CD的中点,BC=8,则GH= .
(2003年广西中考题)
2.如图,△ABC中、BC=a,若D1、E1;分别是AB、AC的中点,则;若 D2、E2分别是D1B、E1C的中点,则:若 D3、E3分别是D2B、E2C的中点.则……若Dn、En分别是Dn-1B、En-1C的中点,则DnEn= (n≥1且 n为整数).
(200l年山东省济南市中考题)
3.如图,△ABC边长分别为AD=14,BC=l6,AC=26,P为∠A的平分线AD上一点,且BP⊥AD,M为BC的中点,则PM的值是 .
4.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,AC=5cm,BD=12cm,则该梯形的中位线的长等于 cm.
(2002年天津市中考题)
5.如图,在梯形ABCD中,AD∥EF∥GH∥BC,AE=EG=GB=AD=18,BC=32,则EF GH=( )
A.40 B.48 C 50 D.56

6.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是对角线BD、AC的中点,若AD=6cm,BC=18㎝,则EF的长为( )
A.8cm D.7cm C. 6cm D.5cm
7.如图,矩形纸片ABCD沿DF折叠后,点C落在AB上的E点,DE、DF三等分∠ADC,AB的长为6,则梯形ABCD的中位线长为( )
A.不能确定 B.2 C. D. 1
(2001年浙江省宁波市中考题)
8.已知四边形ABCD和对角线AC、BD,顺次连结各边中点得四边形MNPQ,给出以下6个命题:
①若所得四边形MNPQ为矩形,则原四边形ABCD为菱形;
②若所得四边形MNPQ为菱形,则原四边形ABCD为矩形;
③若所得四边形MNPQ为矩形,则AC⊥BD;
④若所得四边形MNPQ为菱形,则AC=BD;
⑤若所得四边形MNPQ为矩形,则∠BAD=90°;
⑥若所得四边形MNPQ为菱形,则AB=AD.
以上命题中,正确的是( )
A.①② B.③④ C.③④⑤⑥ D.①②③④
(2001年江苏省苏州市中考题)
9.如图,已知△ABC中,AD是高,CE是中线,DC=BE,DG⊥CE,G为垂足.求证:(1)G是CE的中点;(2)∠B=2∠BCE.
(2003年上海市中考题)
10.如图,已知在正方形ABCD中,E为DC上一点,连结BE,作CF⊥BE于P,交AD于F点,若恰好使得AP=AB,求证:E是DC的中点.
11.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,以AC、AD为边作平行四边形ACED,DC的延长线交BE于F.
(1)求证:EF=FB;
(2)S△BCE能否为S梯形ABCD的?若不能,说明理由;若能,求出AB与CD的关系.
12.如图,已知AG⊥BD,AF⊥CE,BD、CF分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,若BF=2,ED=3,GC=4,则△ABC的周长为 .
(2002年四川省竞赛题)

13.四边形ADCD的对角线AC、BD相交于点F,M、N分别为AB、CD中点,MN分别交BD、AC于P、Q,且∠FPQ=∠FQP,若BD=10,则AC=  .
(重庆市竞赛题)
14.四边形ABCD中,AD>BC,C、F分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线分别与EF的延长线交于H、G,则∠AHE ∠BGE(填“>”或“=”或“<”号)
15.如图,在△ABC中,DC=4,BC边上的中线AD=2,AB AC=3 ,则S△ABC等于( )
A. B. C. D.
16.如图,正方形ABCD中,AB=8,Q是CD的中点,设∠DAQ=α,在CD上取一点P,使∠BAP=2α,则CP的长是( )
A.1 D.2 C.3 D.


17.如图,已知A为DE的中点,设△DBC、△ABC、△EBC的面积分别为S1,S2,S3,则S1、S2、S3之间的关系式是( )
A. B. C. D.
18.如图,已知在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA、CB到E、F,使DE=DF,过E、F分别作CA、CB的垂线,相交于点P.求证:∠PAE=∠PBF.
(2003年全国初中数学联赛试题)

19.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD于O,试判断AB CD与AD BC的大小,并证明你的结论.
(山东省竞赛题)
20.已知:△ABD和△ACE都是直角三角形,且∠ABD=∠ACE=90°.如图甲,连结DE,设M为D正的中点.
(1)求证:MB=MC;
(2)设∠BAD=∠CAE,固定△ABD,让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置,试问:MB;MC是否还能成立?并证明其结论.
(江苏省竞赛题)

21.如图甲,平行四边形ABCD外有一条直线MN,过A、B、C、D4个顶点分别作MN的垂线AA1、BB1、CCl、DDl,垂足分别为Al、B1、Cl、D1.
(1)求证AA1 CCl = BB1 DDl;
(2)如图乙,直线MN向上移动,使点A与点B、C、D位于直线MN两侧,这时过A、B、C、D向直线MN引垂线,垂足分别为Al、B1、Cl、D1,那么AA1、BB1、CCl、DDl之间存在什么关系?
(3)如图丙,如果将MN再向上移动,使其两侧各有2个顶点,这时过A、B、C、D向直线MN引垂线,垂足分别为Al、B1、Cl、D1,那么AA1、BB1、CCl、DD1之间又存在什么关系?





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