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八年级数学竞赛复习讲座:第十五讲 平行四边形(word版)         ★★★★★
八年级数学竞赛复习讲座:第十五讲 平行四边形(word版)
作者:未知 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2013-6-1 16:43:31

第十五讲 平行四边形
 平行四边形是一类特殊的四边形,它的特殊性体现在边、角、对角线上,矩形、菱形是特殊的平行四边形,矩形的特殊性体现在有一个角是直角,菱形的特殊性体现在邻边相等,所以,它们既有平行四边形的性质,又有各自特殊的性质.
对角线是解决四边形问题的常用线段,对角线本身的特征又可以决定四边形的形状、大小,连对角线后,平行四边形就产生特殊三角形,因此解平行四边形相关问题时,既用到全等三角形法,特殊三角形性质,又要善于在乎行四边形的背景下探索问题,利用平行四边形丰富的性质为解题服务.
熟悉以下基本图形、基本结论:

例题求解
【例1】 如图,在矩形ABCD中,已知AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点,PE⊥BD于E,PF⊥AC于F,那么PE PF的值为 .
(全国初中数学联赛试题)

思路点拨 分别求出PE、PF困难,△AOD为等腰三角形,若联想“到等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高”这一性质,则问题迎刃而解.
注 特殊与一般是对立统一的,在一定条件下可以互相转化,相对于一般而言,特殊的事物往往更简单、更直观、更具体.因而人们常常通过特殊去认识一般;另一方面,一般概括了特殊,一般比特殊更为深刻地反映着事物的本质,所以人们也往往通过一般去了解特 殊.
一般与特殊,是知识之间联系的一种重要形式,知识常常在一般到特殊或特殊到一般的变化过程中,不斩地得到延伸与拓展.
【例2】 已知四边形ABCD,从下列条件中:(1)AB∠CD,(2)BC∥AD;(3)AB=CD;(4)BC=AD;(5)∠A=∠C;(6)∠B=∠D.
任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有( )
A.4种 B.9种 C.13种 D. 15种
(山东省竞赛题)
思路点拨 根据平行四边形的判定方法及新的组合方式判定.
【例3】】 如图,在△ADC中,∠DAC=90°,AD⊥BC,DC、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线,BE和AD交于G,求证:GF∥AC.
(湖北省荆州市中考题)

思路点拨 从角的角度证明困难,连结CF,在四边形AGFE的背景下思考问题,证明四边形AGFE为特殊平行四边形,证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形.
【例4】 如图,设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点,PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,PG⊥EF于G点,延长GP并在其延长线上取一点D,使得PD=PC,求证:BC⊥BD,且BC=BD.
(全国初中数学联赛试题)

思路点拨 尽管图形复杂,但证明目标明确,只需证明△CPB≌△DPB,应从图中分离出特殊三角形、特殊四边形,充分运用它们的性质为证题服务.
【例5】 如图,在等腰三角形ABC中,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连结DE,恰有AD=BC=CE=DE.求∠BAC的度数.
(北京市竞赛题)

思路点拨 题设条件给出的是线段的等量关系,要求的却是角的度数,相等的线段可得到全等三角形、特殊三角形,为此需通过构造平行四边形改变它们的位置.
注 课本中平行四边形的判定定理是从边、角、对角线三个方面探讨的,一般情况是,从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类,任意组合就产生许多判定平行四边形的命题.其中有真命题与假命题,对于假命题,要善于并熟悉构造反例.
构造反例是学习数学的一种重要技能,可以帮助我们理解概念.培养推理能力,数学史上就曾有许多著名的论断被一个巧妙的反例推翻的实例.
若题设条件中有彼此平行的线段或造成平行的因素,则通过作平行线,构造平行四边形,这是解四边形问题的常用技巧,这是由于平行四边形能使角的位置更理想,送线段到恰当的地方,使线段比良性传递.
学力训练
1.如图,BD是平行四边形ABCD的对角线,点E、F在BD上,要使四边形AECF是平行 四边形,还需要增加的一个条件是 (填上你认为正确的一个即可,不必考
虑所有可能情形)
(宁波市中考题)
2.(1)如图,已知矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,AE⊥BD于E,若∠DAE:∠BAE=3:1,则∠CAC= ; (河南省中考题)
(2)矩形的一个角的平分线分矩形一边为lcm和3cm两部分,则这个矩形的面积
为 cm2. (武汉市中考题)

3.如图,以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF.
(1)四边形ADEF是 ;
(2)当△ABC满足条件  时,四边形ADEF为矩形;
(3)当△ABC满足条件 时,四边形ADEF不存在. (2000年贵州省中考题)
4.已知一个三角形的一边长为2,这边上的中线为1,另两边之和为1 ,则这两边之积为 . (2001年天津市选拔赛试题)
5.四边形的四条边长分别是a、b、c、d,其中a、c为对边,且满足,则这个四边形一定是( )
A.平行四边形 B.两组对角分别相等的四边形
C.对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形
6.如图,周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形,则矩形ABCD的面积为( )
A.98 B.196 C.280 D. 284
(湖北省荆州市中考题)

7.如图,菱形花坛ABCD的边长为6m,∠B=60°,其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花部分的图形的周长(粗线部分)为( )
A.12 m B.20m C. 22m D.24m
(吉林省中考题)
8.在凸四边形ABCD中,AB∥CD,且AB BC=CD DA,则( )
A.AD>BC B.AD C.AD=BC D.AD与BC的大小关系不能确定
(“希望杯”邀请赛试题)
9.如图,△ABC为等边三角形,D、F分别是BC、AB上的点,且CD=BF,以AD为边作等边△ADC.
(1)求证:△ACD≌△CNBF;
(2)当D在线段BC上何处时,四边形CDEF为平行四边形,且∠DEF=30°?
证明你的结论. (南通市中考题)

10.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠A=90°,点D为BC上任一点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于C,M为BC的中点,试判断△MEF是什么形状的三角形,并证明你的结论.
(黑龙江省中考题)
11.如图,△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:CO=FO;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.
(3)当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?
12.如图,在平行四边形ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF、GH的交点P在BD上,图中有 对四边形面积相等,它们是 .
(常州市中考题)
13.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O,△AOB的周长为3 ,∠ABC=60°,则菱形ABCD的面积为 .

14.如图,矩形ABCD的对角线相交于O,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°,则∠BOE= .
15.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点D′处,则重叠部分△AFC的面积为 . (山东省竞赛题)
16.如图,平行四边形ABCD中,∠ABC=75°,AF⊥BC于F,AF交BD于E,若DE=2AB,则∠AED的大小是( )
A.60° B.65° C.70° D.75° (“希望杯”邀请赛试题)

17.如图,正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等,点E、F分别在BC、CD上,则∠B的度数是( )
A.70° B.75° C.80° D.95°
(重庆市竞赛题)
18.如图,正方形ABCD外有一点P,P在BC外侧,并在平行线AB与CD之间,若PA=,PB=,PC=,则PD=( )
A.2 B. C .3 D. (“五羊杯”竞赛题)
19.如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB,CZ⊥AB于E,F为AD的中点,若∠AEF=
54°,则∠B=( )
A.54° B.60° C.66° D.72°
(武汉市选拔赛试题)
20.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,BC=2,D是AC的中点,以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E,以AB、BE为邻边作长方形ABEF,连结DF,求DF的长.

21.如图,菱形的对角线AC与BD交于点O,延长BA到E,使AE=AB,连结OE,延长DE交CA的延长线于F.求证:OE=DF.
22.阅读下面短文:
如图1,△ABC是直角三角形,∠C=90°,现将△ABC补成矩形,使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点,第三个便点落在矩形这一边的对边上,那么符合要求的矩形可以画出两个:矩形ACBD和矩形AEFB(如图2).

解答问题;
(1)设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为Sl、S2,则S1 S2(填“>”,“=”或“<”);
(2)如图3,△ABC是钝角三角形,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画出 个,利用图3把它画出来;
(3)如图4,△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB,按短文中的要求把它补成矩形,则符合要求的矩形可以画出 个,利用图4把它画出来;
(4)在(3)中所画出的矩形中,哪一个的周长最小?为什么?
(陕西省中考题)
23.如图,在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,N在AC上,且AN=MC,AM与BN相交于P,求证:∠BPM=45°.
(杭州市“求是杯”竞赛题)
24.如图,在锐角△ABC中,AD、CZ分别是BC、AB边上的高,AD、CE相交于F,BF的中点为P,AC的中点为Q,连结PQ、DE.
(1)求证;直线PQ是线段DE的垂直平分线;
(2)如果△ABC是钝角三角形,∠BAC>90°,那么上述结论是否成立?
请按钝角三角形改写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明.
(“希望杯”邀请赛试题)





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