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八年级数学竞赛复习讲座:第十九讲 平行截割(word版)           ★★★★★
八年级数学竞赛复习讲座:第十九讲 平行截割(word版)
作者:未知 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2013-6-1 16:20:18

第十九讲 平行截割
平行线是初中平面几何中基本而重要的图形,平行线能改变角的位置并传递角,可“送”线段到恰当处,完成等积变形,当一组平行线截两条直线时就得到比例线段,平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论.
利用、挖掘、创造平行线,是运用平行线分线段成比例定理解题的关键,另一方面,需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造如下形如“E”、“A”型或“X”型的基本图形:

例题求解
 【例1】如图,已知在平行四边形ABCD中,M、N为AB的三等分点,DM、DN分别交AC于P、Q两点,则AP:PQ:QC= .
(河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题)

思路点拨 图中有形如“X”型的基本图形,建立含AP,PQ,QC的比例式,并把AP,PQ,QC用同一条线段的代数式表示.
【例2】如图,已知在△ABC中,AE:EB=1:3,BD:DC=2:1,AD与CE相交于F,则的值为( )
A. B.1 C. D.2
(江苏省泰州市中考题)
思路点拨 已知条件没有平行线,需恰当作平行线,构造基本图形,产生含,的比例线段,并设法沟通已知比例式与未知比例式的联系.
【例3】 如图,BD、BA,分别是∠ADC与它的邻补角∠ABP的平分线,AE⊥BE,AD⊥BD,E、D为垂足.
(1)求证:四边形AEBD为矩形;
(2)若=3,F、G分别为AE、AD上的点,FG交AB于点H,且,求证:△AHG是等腰三角形.
(厦门市中考题)

思路点拨 对于(2),由比例线段导出平行线,证明∠HAG=∠AHG.
【例4】 如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC.
(1)如果P、E、F分别是BC、AC、BD的中点,求证:AB=PE PF;
(2)如果P是BC上的任意一点(中点除外),PE∥AB,PF∥DC,那么AB=PE PF这个结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,说明理由.
(上海市闽行区中考题)

思路点拨 对于(2),先假设结论成立,从平行线出发证明AB=PC PF,即需证明,将线段和差问题的证明转化为与比例线段有关问题的证明.
注 若题设条件无平行线,需作平行线.而作平行线要考虑好过哪一点作平行线,一般是由比的两条线段启发而得的,其目的是构造基本图形.
平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一,比例线段丰富了我们研究几何问题的方法,主要体现在:
(1)利用比例线段求线段的长度;
(2)运用比例线段证明线段相等,线段和差倍分关系、两直线平行等问题.
【例5】如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,直线平行于BD,且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P,求证:PM×PN=PR×PS
(山东省竞赛题)

思路点拨 由于PM、PN、PR、PS在同一条直线上,所以不能直接应用平行线分线段成比例推得结论,需观察分解图形,利用中间比沟通不同比例式的联系
学力训练
1.如图,△ABC中有菱形AMPN,如果,则 .
(南通市中考题)
2.如图,AD是BC边上的中线,F是AD上一点,CF的延长线交AB于点E,若,则 ;若,则 .(江苏省镇江市中考题)

3.如图,已知点D为△ABC中AC边的中点,AE∥BC,ED交AB于点G,交BC的延长线于点F,若,BC=8,则AE的长为 .
(苏州市中考题)
4.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4cm,BC=lcm,E是CD边上一动点,AE、BC的延长线交于点F,设DE=x (㎝),BF=y(cm),用x的代数式表示y 得 .
(黑龙江省中考题)

5.如图,已知DE∥BC,EF∥AB,现得到下列结论:
①;②;③;④ .
其中正确比例式的个数有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6.如图,BD、CE是△ABC的中线,P、Q是BD、CE的中点,则等于( )
A. B. C. D.
7.如图,已知在平行四边形ABCD中,O1、O2,O3为对角线BD上三点,且BO1=OlQ2=
O2O3=O3D,连结AOl并延长交BC于点C,连结EO3延长交AD于点F,则AD:FD等于( )
A.19:2 B.9:1 C.8:1 D.7:1
(河北省中考题)

8.如图,在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,BD=3CE,DE交BC于F,则DF:FE等于( )
A.5:2 B.2:l C .3:1 D.4:1
(江苏省竞赛题)
9.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,E是AB上一点,AE=2BE,M是腰BC的中点,连结EM并延长交DC的延长线于点F,连结BD交EF于点N求证:BN:ND=l:10. (河南省中考题)
10.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF∥AD.
(1)求证:OE=OF,(2)求的值;
(3)求证:.

11.已知如图1,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B、D,AD和BC相交于点E,EF⊥BD于F,我们可以证明成立.若将图1中的垂直改为斜交,如图2,AB∥CD,AD、BC相交于点E,过点E作EF∥AB,交BD于点F,则:
(1) 还成立吗?如成立,请给出证明;如不成立,请说明理由;
(2)请找出S△ABD,S△BED,S△BDC间的关系式,并给出证明.
(黄冈市中考题)
12.如图,在梯形ABCD中.AB∥CD,AB=3CD,E是对角线AC的中点,BE延长后交AD于F,那么= .
(“祖冲之杯”邀请赛试题)

13.如图,平行四边形ABCD的对角线交于O点,过O任作一直线与CD、BC的延长线分别交于F、E点,设BC=a,CD=b,CE=c,则CF= .
(山东赛区选拔赛试题)
14.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD= a ,BC= b ,E、F分别是AD、BC的中点,且AF交BE于P,CE交DF于Q,则PQ的长为 .
15.如图,工地上竖立着两根电线杆AB、CD,它们相距15m,分别自两杆上高出地面4m、6m的A、C处,向两侧地面上的E、D、B、F点处,用钢丝绳拉紧,以固定电线杆,那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为 m.
(2000年全国初中数学联赛试题)
16.如图,在△ABC中,D是AC的中点,E,F是BC的三等分点.AE、AF分别交BD于M、N两点,则BM:MN:ND=( )
A.3:2;1 B.4:2:l C.5:2:1 D.5:3:2
(2004年武汉市选拔赛试题)
17.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=9,AB=6,CD=4,若EF∥BC,且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等,则EF的长为( )
A. B. C. D.
(山东省竞赛题)
18.如图,平行四边形ABCD中,F、F分别是边AD、BC的中点,AC分别交BE、DF于G、H,试判断下列结论:①BE=DF;②AG=GH=HC;③EG=BG;
④S△ABE=3S△AGE,其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

19.如图,已知△ABC,,,AD、BE交于F,则的值( )
A. B. C. D.
20.如图,已知AB∥EF∥CD,AC BD=240,BC=100,EC ED=192,求CF.
(山东省竞赛题)

21.如图,已知在平行四边形ABCD中,F为AB边的中点,AF=FD,FE与AC相交于G,求证:AG=AC.
22.如图,已知M、N为△ABC的边BC上的两点,且满足BM=MN=NC,一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F,求证:EF=3DE.
(湖北省黄冈市竞赛题)
23.在△ABC中,D为BC边的中点,E为AC边上的任意一点,BE交AD于点O.某学生在研究这一问题时,发现了如下的事实:
(1)当时,有 (如图甲);
(2)当时,有 (如图乙);
(3)当时,有 (如图丙);
在图丁中,当时,参照上述研究结论,请你猜想用表示的一般结论,并给出证明(其中n是正整数)
(山西省中考题)

24.如图,在平行四边形ABCD中,P1,P2,…,Pn是BD的n等分点,连结AP2并延长交BC于点E,连结APn-2并延长交CD于点F.
(1)求证:EF∥BD;
(2)设平行四边形ABCD的面积是S,若S△AEF=S,求n的值. (山东省竞赛题)












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